Introducción a las Pruebas – Demostraciones: Terminología
Terminología
Teorema: Una afirmación que puede demostrarse como verdadera (generalmente se reserva este término para resultados "importantes").
Proposición: Una afirmación menos relevante que puede demostrarse como verdadera.
Demostración: Un argumento válido que establece la veracidad de una afirmación.
Axioma (o postulado): Una afirmación que se asume como verdadera sin necesidad de demostración.
Lema: Una afirmación que, aunque puede no ser importante por sí misma, es útil para probar otros resultados.
Corolario: Un teorema que se deriva directamente de otro teorema previamente demostrado.
Conjetura: Una afirmación propuesta como posiblemente verdadera basada en evidencia parcial.Métodos de Demostración
Demostración Directa
Se usa para probar un teorema de la forma ∀x(P(x)→Q(x))∀x(P(x)→Q(x)), mostrando que la conclusión es cierta siempre que la hipótesis lo sea.Se asume que la hipótesis P(a)P(a) es verdadera para un elemento arbitrario aa dentro del dominio de la variable xx.
Se utilizan axiomas, definiciones y teoremas previamente demostrados junto con las reglas de inferencia para probar que la conclusión Q(a)Q(a) también es verdadera.
Dado que se ha demostrado P(a)→Q(a)P(a)→Q(a) para un aa arbitrario, se concluye que ∀x(P(x)→Q(x))∀x(P(x)→Q(x)) es una afirmación verdadera aplicando la generalización universal.
Demostración por Contraposición
Se utiliza cuando parece más sencillo demostrar que la hipótesis no se cumple siempre que la conclusión no se cumpla.Se asume ¬Q(a)¬Q(a) (es decir, que la conclusión no se cumple) para un elemento arbitrario aa en el dominio de la variable xx.
Se usan axiomas, definiciones y teoremas previamente demostrados junto con las reglas de inferencia para demostrar que ¬P(a)¬P(a) también es verdadero.
Como se ha demostrado que ¬Q(a)→¬P(a)¬Q(a)→¬P(a) para un aa arbitrario, se concluye que ∀x(P(x)→Q(x))∀x(P(x)→Q(x)) es una afirmación verdadera aplicando la contraposición y la generalización universal.
Demostración por Contradicción
Se demuestra que una proposición pp es verdadera al probar que su negación lleva a una contradicción.Se asume que ¬p¬p es verdadero.
Se utilizan axiomas, definiciones y teoremas previos junto con reglas de inferencia para derivar una contradicción.
Como la suposición de ¬p¬p lleva a una contradicción, se concluye que pp debe ser verdadero por el principio de reductio ad absurdum.
Fuente
James, J. (2015). Introduction to Proofs Terminology. Recuperado de https://web.mnstate.edu/jamesju/Fall2015/Content/M311ProofsIntro.pdf
Traducción CHAt gpt
Prompts Raymond Orta Martinez